같은 시스템을 나타내는 방법임에도, 서로 다른 프레임을 가지는 경우가 있다. 모순된 현상이 아니라 어느 것이 고정되었느냐에 따라 값이 달라질 뿐 결과는 다르다는 의미이다. 역학도 마찬가지다. 어떤 변량을 독립 변량을 둘 것인지에 따라 프레임이 달라진다. 라그랑주 프레임에서는 일반화 벡터 $q_i$와 속도 $q_i'$ 그리고 $t$가 독립된 변량이었다. 기존의 프레임 대신 $q_i$와 일반화 운동량 $p_i$를 이용하는 새로운 프레임을 해밀튼 프레임이라 한다.

$H(q_i, p_i,t) = ∑ [p_i . q_i'(q_i, p_i) ] - L(q_i, q_i'(q_i, p_i) , t)$초

라그랑주와 똑같은 결과를 내놓는다.

최소시간의 법칙과 똑같은 말이다. 언제나 모든 것은 최소시간으로 움직인다라고 해석할 수 있다. -윤승민

해밀토니안 공식이 나무위키에 잘 정리되어 있다.

정리하자면,

라그랑지언은 일반화 좌표 $q_i$와 이것의 시간 미분 $q^*_i$를 가진 함수었다. 해밀토니언은 $q_i$, 위에서 정의된 $p_i$들을 변수로 인정하여 르장도르 변환으로 정의된다.

시간미분 $q^*_i$를 남기는 경우가 라그랑지안에는 대부분인데, 해밀토니안에서는 이러한 표현들을 $q_i$와 $p_i$로 대체해야 해밀토니언이 공식적으로 완성된거다.

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