브라운 운동 조건 4가지 조건을 만족했기 때문에 Stochastic Process로 정의했다.
그러면 브라운 운동은 0을 중심으로 진동한다. 하지만 시계열 자료는 추세(Trend)가 있다. 오직 브라운 운동은 추세를 반영 못하는데 이 브라운 운동을 수정해서 추세성을 갖게 하는 것이 Arithmatic Brownian Motion과 Geometric Brownian Motion이라 한다.
Stochastic Differential Equation을 갖는 Stochastic Process를 의미한다. 아래 공식을 보자.
X(t)가 Stochastic Process이고, Stochastic Differential Equation으로 나타내면 위와 같이 나오는 거다. 이 SDE를 해석해보자 . X(t)라는 산술 브라운 운동이 (t~t+dt) 사이에 변화된 양은 시간의 dt 흐름에 따라 mu만큼 비례하여 증가한다. 변화된 양의 sigma배 만큼 비례하여 증가한다. 이 mu만큼 비례하여 커지는 것이 추세를 가진다는 의미다.
<aside> 💡 Wiener Process는 여기 있다. 간단하게 특정시점의 값은 과거의 값들과 연관이 없다는 것이다. 독립적이다는 의미다.
</aside>
하지만 차피 아직 확률변수일 뿐으로 브라운 운동의 고유한 특성을 가져간다. 어떤 양이 음수가 나오는 경우가 매우 드물거나 현실적으로 불가능한 경우가 많다. 이를 발전시킨게 Geometric Brownian Motion이다.
Stochastic Process의 변화량을 변화율로 바꿔 Stochastic Process의 값이 음수가 나오지 않게 하는 것이다.
브라운 운동은 시간이 흐름에 따라 확정적으로 변하는 양과 도저히 알 수 없는 변동으로 나뉜다. 그래서 다음과 같이 일반화 할 수 있다.
이렇게 어떤 Stochastic Process를 Stochastic Differential Equation으로 표현했을 때 Drift Term과 Diffustion Term이 시간과 stochastic Process에 Depending 하도록 나타나는 경우를 Ito Process라 한다.